Spis treści

Podstawowe stałe i zmienne symboliczne w Maxima

W Maxima dostępne są symboliczne stałe oraz zmienne wbudowane, często wykorzystywane przy obliczeniach:

Zmienna / stała Opis
%pi stała \(\pi\) (3.14159…)
%e stała Eulera (2.718…)
%i jednostka urojona (√-1)
%phi złoty podział
inf nieskończoność
minf minus nieskończoność
und nieokreślone
noun symboliczna forma funkcji (bez ewaluacji) 
float(%pi);        /* aproksymacja liczby pi */
exp(%i * %pi);     /* tożsamość Eulera */
limit(1/x, x, inf); /* granica w nieskończoności */

Macierze

matrix:

Tworzenie macierzy w Maxima odbywa się za pomocą funkcji matrix.

Składnia:

A: matrix([a11, a12], [a21, a22]); /* macierz 2x2 */

Przykład:

A: matrix([1, 2], [3, 4]);

Podstawowe operacje na maczierzach

Operacja Składnia / przykład
Transpozycja transpose(A);
Wyznacznik determinant(A);
Odwracanie macierzy invert(A); (jeśli macierz jest odwracalna)
Dodawanie, odejmowanie A + B;, A - B;
Mnożenie przez skalar 2 * A;
Mnożenie macierzy A . B; (kropka oznacza mnożenie macierzowe)
Rozmiar macierzy length(A); – liczba wierszy, length(first(A)); – liczba kolumn
Dostęp do elementów A[1][2]; – element w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie 
A: matrix([1, 2], [3, 4]);
B: matrix([5, 6], [7, 8]);

A + B;        /* dodawanie */
A . B;        /* mnożenie */
transpose(A); /* transpozycja */
determinant(A);
invert(A);

Rozwiązywanie równań

solve

Funkcja solve służy do rozwiązywania równań algebraicznych oraz układów równań.

Składnia:

solve(równanie, zmienna); /* jedno równanie */
solve([równanie1, równanie2], [zmienna1, zmienna2]); /* układ równań */

Przykłady:

solve(x^2 - 4 = 0, x); /* rozwiązanie równania kwadratowego */
solve([x + y = 3, x - y = 1], [x, y]); /* układ równań liniowych */

Granica funkcji

limit

Funkcja limit służy do obliczania granic funkcji.

Składnia:

limit(wyrażenie, zmienna, punkt);
limit(wyrażenie, zmienna, punkt, kierunek);
  • kierunek: plus (od prawej), minus (od lewej)

Przykłady:

limit(sin(x)/x, x, 0); /* granica zwykła */
limit(1/x, x, 0, plus); /* granica prawostronna */
limit(1/x, x, 0, minus); /* granica lewostronna */

Pochodna funkcji

diff

Funkcja diff służy do obliczania pochodnych wyrażeń.

Składnia:

diff(wyrażenie, zmienna);
diff(wyrażenie, zmienna, rząd);

Przykłady:

diff(sin(x^2), x); /* pochodna funkcji jednej zmiennej */
diff(exp(x^2), x, 2); /* druga pochodna */
diff(x^2 * y + y^3, x); /* pochodna cząstkowa względem x */
diff(x^2 * y + y^3, y); /* pochodna cząstkowa względem y */

Całkowanie w Maxima

integrate

W Maxima do obliczania całek nieoznaczonych stosujemy funkcję integrate.

Składnia:

integrate(wyrażenie, zmienna);

Przykłady:

integrate(x^2, x);            /* ∫x² dx = x³/3 */
integrate(sin(x^2), x);       /* funkcja specjalna (nieelementarna) */
integrate(exp(-x^2), x);      /* wynik symboliczny z funkcją erf */

integrate

W Maxima do obliczania całek oznaczonych ostosujemy funkcję integrate.

Składnia:

integrate(wyrażenie, zmienna, dolna_granica, górna_granica);

Przykłady:

ntegrate(x^2, x, 0, 2);        /* ∫₀² x² dx = 8/3 */
integrate(sin(x), x, 0, %pi);   /* ∫₀^π sin(x) dx = 2 */
integrate(1/x, x, 1, %e);       /* ∫₁^e (1/x) dx = 1 */

Dodatkowe funkcje pomocnicze

ratsimp

Upraszcza wyrażenia wymierne (ang. rational simplification).

Przykład:

ratsimp((x^2 - 1)/(x - 1));

expand

Rozwija wyrażenie algebraiczne. 
expand((x + 1)^3);

factor

Rozkłada wyrażenie na czynniki.

Przykład:

factor(x^2 - 1);

coeff

Funkcja coeff w Maxima służy do wyodrębniania współczynnika przy danym stopniu zmiennej w wielomianie.

Składnia:

coeff(wyrażenie, zmienna, stopień);

Przykłady:

coeff(3*x^3 + 2*x^2 - x + 5, x, 2);  /* wynik: 2 */
coeff(a*x^4 + b*x^3 + c, x, 4);      /* wynik: a */
coeff((x + 1)^3, x, 2);              /* wynik: 3 — rozwinięcie: x^3 + 3x^2 + 3x + 1 */

w: expand((x - 1)^3);
[
  coeff(w, x, 3),
  coeff(w, x, 2),
  coeff(w, x, 1),
  coeff(w, x, 0)
];
coeff(x^2 + 5, x, 4); /* wynik: 0 */

Wykres funkcji

plot2d

Funkcja plot2d służy do rysowania wykresów funkcji jednej zmiennej w układzie 2D.

Składnia:

plot2d(funkcja, [zmienna, a, b]);

Przykłady

wxplot2d(sin(x), [x, -%pi, %pi]); /* wykres funkcji sinus */
wxplot2d([sin(x), cos(x)], [x, -%pi, %pi]); /* wykres dwóch funkcji na tym samym układzie */

Wykres funkcji sin Wykres funkcji sin Dodatkowe opcje:

wxplot2d(sin(x), [x, -10, 10], [ylabel, "f(x) = sin(x)"], [xlabel, "x"], [style, [lines, 2]]);
Wykres funkcji sin
Wykres funkcji sin

plot3d

Funkcja plot3d umożliwia rysowanie wykresów funkcji dwóch zmiennych w 3D.

Składnia:

wxplot3d(funkcja, [x, a, b], [y, c, d]);
  • funkcja – wyrażenie zależne od dwóch zmiennych,
  • x, y – zmienne niezależne,
  • a, b, c, d – zakresy wartości dla każdej zmiennej.

Przykład:

wxplot3d(x^2 + y^2, [x, -2, 2], [y, -2, 2]); /* paraboloida */
wxplot3d(sin(x)*cos(y), [x, -%pi, %pi], [y, -%pi, %pi]); /* funkcja trygonometryczna */

Wykres 3D 1 Wykres 3D 2

Dodatkowe opcje:

wxplot3d(sin(x*y), [x, -3, 3], [y, -3, 3], [grid, 30, 30], [palette, gray]);
Wykres 3D 3
Wykres 3D 3

Zadania

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Zadanie 1:

Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:

  1. \(f(x, y) = \operatorname{arctg} \frac{1 - xy}{x + y}\).

  2. \(f(x, y, z) = \frac{x}{x^2 + y^2 + z^2}\).

  3. \(f(x, y) = \sin \frac{y}{e^x}\).

  4. \(f(x, y) = e^{x^2} \sin y\).

  5. \(f(x, y) = \arccos \frac{y}{x}\).

  6. \(f(x, y, z) = x^y - z^x\),

  7. \(f(x, y, z) = \sin(x \cos(y \sin z))\).

Zadanie 2: Wyznacz ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych

  1. \(f(x, y) = 3(x - 1)^2 + 4(y + 2)^2\).

  2. \(f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy\).

  3. \(f(x, y) = \left( 2x + y^2 \right) e^{-x^2}\).

  4. \(f(x, y) = \left( \cos x + \cos y \right)^2 + \left( \sin x + \sin y \right)^2\).

  5. \(f(x, y) = x^3 + 3xy^2 - 51x - 24y\).

  6. \(f(x, y) = 3x^2y - x^3 - y^4\).

  7. \(f(x, y) = xy + \frac{1}{2(x+y)}\).

  8. \(f(x, y) = x^2 - xy + y^2\).

  9. \(f(x, y) = x^2 - xy - y^2\).

  10. \(f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x\).

  11. \(f(x, y) = x^3 + y^3 - x^2 - 2xy - y^2\).

  12. \(f(x, y) = x^3 - 2y^3 - 3x + 6y\).

  13. \(f(x, y) = x^3 - 2x^2y^2 + y^4\).

  14. \(f(x, y) = e^{x+2y}(x^2-y^2)\).

  15. \(f(x, y) = e^{-xy}(x^2-2xy+y^2)\).

  16. \(f(x, y) = (x^2 + 2y^2)e^{-(x^2+y^2)}\).

  17. \(f(x, y) = (x-2y)e^{-(x^2+y^2)}\).

  18. \(f(x, y) = xy \ln(x^2 + y^2)\).

  19. \(f(x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{x} + y\).

  20. \(f(x, y) = \frac{ax+by+c}{\sqrt{x^2+y^2+1}}, \quad a^2+b^2+c^2 \neq 0\).

  21. \(f(x, y) = 1 - \sqrt{x^2+y^2}\).

  22. \(f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 4\ln x - 10\ln y\).

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

Zadanie 3: Oblicz podane całki nieoznaczone

  1. \(\int x \sin x \, dx\).

  2. \(\int x \cos x \, dx\).

  3. \(\int x e^x \, dx\).

  4. \(\int x e^{-x} \, dx\).

  5. \(\int x^3 \, dx\).

  6. \(\int x \operatorname{arctg} x \, dx\).

  7. \(\int x^n \ln x \, dx, \quad n \in \mathbb{N}\).

  8. \(\int x \arccos x \, dx\).

  9. \(\int \arcsin x \, dx\).

  10. \(\int x \tg^2 x \, dx\).

  11. \(\int x \cos^2 x \, dx\).

  12. \(\int x \ln(x^2 + 1) \, dx\).

  13. \(\int x^3 e^x \, dx\).

  14. \(\int x^3 \sin x \, dx\).

Zadanie 4: Oblicz podane całki nieoznaczone

  1. \(\int e^{-x^2} \, dx\).

  2. \(\int e^x \, dx\).

  3. \(\int \operatorname{ctg} x \, dx\).

  4. \(\int \operatorname{tg} x \, dx\).

  5. \(\int \frac{dx}{x \ln x}\).

  6. \(\int \frac{3x + 5}{x^2 + 1} \, dx\).

  7. \(\int \frac{\ln^5 x}{x} \, dx\).

  8. \(\int \frac{\operatorname{tg} x + 3}{\cos^2 x} \, dx\).

  9. \(\int \frac{x}{4x^2 + 7} \, dx\).

  10. \(\int (1 + \frac{\operatorname{ctg} x}{\sin^2 x}) \, dx\).

  11. \(\int \frac{x^3}{1 + x^8} \, dx\).

  12. \(\int \frac{5x}{\sqrt{1 + x^4}} \, dx\).

  13. \(\int x (2x^2 + 3)^n dx, n \in \mathbb{N}\).

  14. \(\int e^x / x^2 dx\).

Zadanie 5: Oblicz podane całki nieoznaczone

  1. \(\int \frac{x \, dx}{2x^2 - 3x - 2}\).

  2. \(\int \frac{x^5 + x^4 - 8}{x^3 - 4x} \, dx\).

  3. \(\int \frac{dx}{6x^3 - 7x^2 - 3x}\).

  4. \(\int \frac{x^8 - 2x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 4}{x^5 - 5x^3 + 4x} \, dx\).

  5. \(\int \frac{x^2 + 1}{x^4 - 5x^2 + 4} \, dx\).

  6. \(\int \frac{x^3 + 1}{x^3 - x^2} \, dx\).

  7. \(\int \frac{x}{x^4 + 2x^3 - x^2 - 4x + 4} \, dx\).

  8. \(\int \frac{dx}{x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4}\).

  9. \(\int \frac{x}{x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30} \, dx\).

  10. \(\int \frac{x^2 - 3x + 2}{x^3 + 2x^2 + x} \, dx\).

  11. \(\int \frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 5}{(x-2)^4} \, dx\).

  12. \(\int \frac{3x^2 + 1}{(x-2)^2} \, dx\).

Zadanie 6: Oblicz podane całki nieoznaczone

  1. \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 + 4x - 4}}\).

  2. \(\int \frac{dx}{\sqrt{2 + x - x^2}}\).

  3. \(\int \frac{dx}{(2x-3)\sqrt{4x-x^2}}\).

  4. \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}\).

  5. \(\int x^2\sqrt{1-2x-x^2}dx\).

Rachunek całkowy funkcji wieluzmiennych

Zadanie 7: Oblicz podane całki

  1. \(\iint_R \frac{dxdy}{(x + y + 1)^3}, \quad R = [0, 2] \times [0, 1];\)

  2. \(\iint_R x \sin xy \, dxdy, \quad R = [0, 1] \times [\pi, 2\pi].\)

  3. \(\iint_R e^{-xy} dxdy, \quad R = [-1, 1] \times [-1, 1];\)

  4. \(\iint_R xy \ln\frac{x}{y} dxdy, \quad R = [1, e] \times [1, 2].\)

Zadanie 8: Obliczyć całkę po obszarze \(D\) ograniczonym podanymi krzywymi

  1. \(\iint\limits_D x^2 y(2-3y) \, dx\,dy, \quad \text{gdzie } D:y=x^2+x,y=0.\)

  2. \(\iint\limits_D \dfrac{y}{\sqrt{100-x}} \, dx\,dy, \quad \text{gdzie } D: x=y^2-4,x=12.\)

  3. \(\iint\limits_D \left( \frac{x}{y} \right)^2 dx\,dy, \quad \text{gdzie } D: xy=1,x=2,y=x.\)

  4. \(\iint\limits_D \dfrac{1}{\sqrt{3x+2y+5}} \, dx\,dy, \quad \text{gdzie } D: \text{ trójkąt o wierzchołkach } A=(0,0),\ B=(3,0),\ C=(0,2).\)

  5. \(\iint\limits_D \dfrac{xy}{x+y} \, dx\,dy, \quad \text{gdzie } D \text{ -- trójkąt o wierzchołkach } A = (1,0),\; B = (2,1),\; C = (1,2).\)

Zadanie 9: Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć dane całki podwójne po wskazanych obszarach

1.\(\iint_D xy \, dxdy,\) gdzie \(D : x \geq 0,\ 1 \leq x^2 + y^2 \leq 2;\)

2.\(\iint_D (x^2 + y^2) \, dxdy,\) gdzie \(D : y \geq 0,\ y \leq x^2 + y^2 \leq x;\)

3.\(\iint_D x\sqrt{x^2 + y^2} \, dxdy,\) gdzie \(D : x \geq 0,\ (x^2 + y^2)^2 \leq 4(4 - y^2).\)

Zadanie 10: Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi

  1. \(y^2 = 4x,\ x + y = 3,\ y = 0\ (y \geq 0).\)

  2. \(x^2 + y^2 - 2y = 0,\ x^2 + y^2 - 4y = 0.\)

  3. \(x+y = 4,\ x + y = 8,\ x - 3y = 0,\ x - 3y = 5.\)

Zadanie 11: Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami

  1. \(x^2 + y^2 - 2y = 0,\ z = x^2 + y^2,\ z = 0.\)

  2. \(x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 0.\)

  3. \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1,\ z = xy,\ z = 0.\)

  4. \(2z = x^2 + y^2,\ y + z = 4.\)

Zadanie 12: Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach

  1. \(\iiint_U \frac{x}{yz} \, dx\,dy\,dz,\) gdzie \(U = [1, 2] \times [1, e] \times [1, e].\)

  2. \(\iiint_U (x + y + z) \, dx\,dy\,dz,\) gdzie \(U = [1, 2] \times [2, 3] \times [3, 4].\)

  3. \(\iiint_U \sin x \sin(x + y) \sin(x + y + z) \, dx\,dy\,dz,\) gdzie \(U = [0, \pi] \times [0, \pi] \times [0, \pi].\)

Zadanie 13: Obliczyć całki potrójne z danych funkcji po wskazanych obszarach

  1. \(f(x, y, z) = e^{x + y + z}, \quad U : x \leq 0, -x \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq -x.\)

  2. \(f(x, y, z) = \frac{1}{(3x + 2y + z + 1)^4}, \quad U : x \geq 0, y \geq 0, 0 \leq z \leq 1 - x - y.\)

  3. \(f(x, y, z) = x^2 + y^2, \quad U : x^2 + y^2 \leq 4, 1 - x \leq z \leq 2 - x.\)

Zadanie 14: Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po wskazanych obszarach

  1. \(\iiint_U (x^2 + y^2 + z^2)^2 dx\,dy\,dz, \quad U : x^2 + y^2 \leq 4,\ 0 \leq z \leq 1\).

  2. \(\iiint_U xyz dx\,dy\,dz, \quad U : \sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq \sqrt{1 - x^2 - y^2}\).

  3. \(\iiint_U (x^2 + y^2) dx\,dy\,dz, \quad U : x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2,\ x^2 + y^2 + z^2 \leq 2Rz\).

Zadanie 14: Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć podane całki po wskazanych obszarach

  1. \(\iiint_U \frac{dx\,dy\,dz}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \quad U : 4 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 9\).

  2. \(\iiint_U (x^2 + y^2) dx\,dy\,dz, \quad U : \sqrt{x^2 + y^2}\leq z \leq \sqrt{1-x^2-y^2}\).

  3. \(\iiint_U z^2 dx\,dy\,dz,\) gdzie \(U : x^2 + y^2 + (z - R)^2 \leq R^2,\ R > 0\). \(\iiint_U x^2 dx\,dy\,dz,\) gdzie \(U : x^2 + y^2 + z^2 \leq 4x.\)

Zadanie 15: Obliczyć objętości obszarów \(U\) ograniczonych podanymi powierzchniami

  1. \(x^2 + y^2 = 9,\ x + y + z = 1,\ x + y + z = 5\).

  2. \(x = -1,\ x = 2,\ z = 4 - y^2,\ z = 2 + y^2\).

  3. \(z = \frac{1}{1 + x^2 + y^2},\ z = 0,\ x^2 + y^2 = 1.\)

Równania różniczkowe

Zadanie 16: Rozwiąż równanie różniczkowe

  1. \(2x^2 \dfrac{dy}{dx} = y\)

  2. \(x^2 \dfrac{dy}{dx} + y - a = 0\)

  3. \(x y = (a + x)(b + y) \dfrac{dy}{dx}\)

  4. \(x - y^2 + 2 x y \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  5. \(x \sqrt{1 + y^2} + y \sqrt{1 + x^2} \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  6. \(1 + y^2 - \sqrt{1 + y^2} (\sqrt{1 + x^2})^3 \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  7. \(\dfrac{dy}{dx} = x y + a x + b y + a b\)

  8. \(x \dfrac{dy}{dx} + 1 = x^3 \dfrac{dy}{dx}\)

  9. \(x + \dfrac{dy}{dx} = 1\)

  10. \(1 + \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2 = 1\)

  11. \(\dfrac{dy}{dx} = 1 - x^2 \dfrac{dy}{dx}\)

  12. \(x^3 y + y + (x y^3 - x) \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  13. \((1 + x^2) \dfrac{dy}{dx} - \sqrt{1 - y^2} = 0\)

  14. \((1 + x) y + (1 - y) x \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  15. \(\sin x \sin y \dfrac{dy}{dx} = \cos x \cos y\)

  16. \(\sin x \cos y - \cos x \sin y \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  17. \(e^{-1/x^3} + x^2 y^2 \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  18. \(e^y (1 + x^2) \dfrac{dy}{dx} - 2x (1 + e^y) = 0\)

  19. \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{1 + x}{1 + y}\)

  20. \(y - x \dfrac{dy}{dx} = 1 + x^2 \dfrac{dy}{dx}\)

  21. \((x^2 + 1) y^3 + (1 - y^2) x^3 \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  22. \((1 - x^2) \dfrac{dy}{dx} + 1 - y^2 = 0\)

  23. \((x - 1)(y^2 + 1) - (y + 1)(x^2 + x + 1) \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  24. \(x(1 + e^y) - e^y \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  25. \((1 + y^2) e^{x - y} \dfrac{dy}{dx} - (1 + y^2) = 0\)

  26. \(\dfrac{dy}{dx} = \cos y\)

  27. \(\dfrac{dy}{dx} = \sin y\)

  28. \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\tan y}{x}\)

  29. \(y \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{y^2}{x}\)

  30. \(\dfrac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 + y^2}\)

  31. \(\dfrac{dy}{dx} = y \sqrt{1 - y^2}\)

  32. \(y(x^2 - 1) \dfrac{dy}{dx} + x(y^2 - 1) = 0\)

  33. \(2x \sqrt{a x - x^2} \dfrac{dy}{dx} = a^2 + y^2\)

  34. \(y^2 = x \dfrac{dy}{dx} + y\)

  35. \(\dfrac{dy}{dx} = y^3 + y\)

  36. \(x(1 + y^2) + y(1 + x^2) \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  37. \(x y^2 + (y - x^2 y) \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  38. \(e^{\left( \dfrac{dy}{dx} + 1 \right)} = 1\)

  39. \(e^{\sqrt{1 + x^2}} \dfrac{dy}{dx} + 1 = 0\)

  40. \(\dfrac{dy}{dx} = 1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y^2 + 2} - \dfrac{1}{x(y^2 + 2)}\)

  41. \(\sqrt{1 - x^2} \dfrac{dy}{dx} + \sqrt{1 - y^2} = 0\)

  42. \(\tan x \sin^2 y + \cos^2 x \cot y \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  43. \(1 + y^2 + x y \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  44. \(1 - x^2 - x y \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  45. \(x y (1 + x^2) \dfrac{dy}{dx} = 1 + y^2\)

  46. \(x^2 \left( \dfrac{dy}{dx} + y^2 \right) = a(x y - 1)\)

Zadanie 17: Rozwiąż podane zagadnienie początkowe

  1. \(y' = -\dfrac{x}{y}, \quad y(1) = 1\)

  2. \(y' = -\dfrac{x}{y}, \quad y(1) = -2\)

  3. \(y' = \dfrac{2x + 1}{5y^4 + 1}, \quad y(2) = 1\)

  4. \(y' = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{y - 2}, \quad y(1) = 4\)

  5. \(y' + x(y^2 + y) = 0, \quad y(2) = 1\)

  6. \((3y^2 + 4y)y' + 2x + \cos x = 0, \quad y(0) = 1\)

  7. \(y' + \dfrac{(y + 1)(y - 1)(y - 2)}{x + 1} = 0, \quad y(1) = 0\)

  8. \(y' + 2x(y + 1) = 0, \quad y(0) = 2\)

  9. \(y' = 2xy(1 + y^2), \quad y(0) = 1\)

  10. \(y'(x^2 + 2) + 4x(y^2 + 2y + 1) = 0, \quad y(1) = 1\)

  11. \(y' = -2x(y^2 - 3y + 2), \quad y(0) = 3\)

  12. \(y' = \dfrac{2x}{1 + 2y}, \quad y(2) = 0\)

Zadanie 18: Równania różniczkowe do rozwiązania

  1. \(\dfrac{dy}{dx} = x + y + 3\)

  2. \(\dfrac{dy}{dx} = 3x - 2y + 1\)

  3. \(\dfrac{dy}{dx} = 5x - 3y + 7\)

  4. \(\dfrac{dy}{dx} = \sin(x - y)\)

  5. \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2x + y} + 2x + y - 2\)

  6. \(\dfrac{dy}{dx} = (x + y)^2\)

  7. \(\dfrac{dy}{dx} = (x - y)^2 + 1\)

  8. \(\dfrac{dy}{dx} = (8x + 2y - 3)^2\)

  9. \(\dfrac{dy}{dx} = (8x + 2y + 1)^2\)

  10. \(\dfrac{dy}{dx} = (x + 2y + 3)^2\)

  11. \(\dfrac{dy}{dx} = (4x + 2y + 5)^2\)

  12. \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x + y}\)

  13. \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4}{(x + y)^2}\)

  14. \(2x + 3y - 1 + (4x + 6y - 5)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

  15. \(2x - y + (4x - 2y + 3)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

Zadanie 19: Równania różniczkowe do rozwiązania

  1. \((y - 2x) \dfrac{dy}{dx} = 2y + x\)

  2. \(x + y + \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  3. \(8y + 10x + (5y + 7x) \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  4. \((x + y) \dfrac{dy}{dx} + y = 0\)

  5. \((x + y) \dfrac{dy}{dx} - y = 0\)

  6. \((x + y) \dfrac{dy}{dx} - 2y = 0\)

  7. \((x + y) \dfrac{dy}{dx} - x - y = 0\)

  8. \(\dfrac{dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}\)

  9. \(\dfrac{dy}{dx} = y + \sqrt{y^2 - x^2}\)

  10. \(2\sqrt{xy} - y + x \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  11. \(y + (2\sqrt{xy} - x) \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  12. \(x - \sqrt{xy} - y + \sqrt{xy} \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  13. \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y^2 - xy}{x^2 - x y + y^2}\)

  14. \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} + \tan \dfrac{y}{x}\)

  15. \(\dfrac{dy}{dx} = x \tan \dfrac{y}{x}\)

  16. \(x - y \cos \dfrac{y}{x} + x \cos \dfrac{y}{x} \dfrac{dy}{dx} = 0\)

  17. \(x \cos \dfrac{y}{x} (y\, dx + x\, dy) = y \sin \dfrac{y}{x} (x\, dy - y\, dx)\)

  18. \(\dfrac{dy}{dx} = y \ln \dfrac{y}{x}\)

  19. \(x \dfrac{dy}{dx} = y (1 + \ln y - \ln x)\)

  20. \((x^2 - y^2) \dfrac{dy}{dx} - 2xy = 0\)

  21. \((3x^2 - y^2) \dfrac{dy}{dx} - 2xy = 0\)

  22. \((x^2 - xy) \dfrac{dy}{dx} + y^2 = 0\)

  23. \((x^2 + 2xy) \dfrac{dy}{dx} = y^2\)

Zadanie 20: Równania różniczkowe do rozwiązania

  1. \(2(x - 2y + 1) + (5x - y - 4)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

  2. \(3y - 7x + 7 + (7y - 3x + 3)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

  3. \(x - 3y + 2 + (3x - y - 2)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

  4. \(x - 2y + 9 - (3x - 6y + 19)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

  5. \((2y - x + 1)\dfrac{dy}{dx} = -2x + y - 1\)

  6. \((2x - y - 1)\dfrac{dy}{dx} = x - 2y + 1\)

  7. \(3x + 3y - 1 + (x + y + 1)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

  8. \(x + y + 1 + (2x + 2y - 1)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

  9. \(x + y - 2 + (x - y + 4)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

  10. \(x - 2y + 5 + (2x - y + 4)\dfrac{dy}{dx} = 0\)

  11. \(6x^3(2y\,dx - 3x\,dy) + y^4(-3y\,dx + 2x\,dy) = 0\)

Zadanie 21: Rozwiąż równanie różniczkowe liniowe niejednorodne

  1. \(\frac{dy}{dx} - 3y = 2\)

  2. \(\frac{dy}{dx} - 2xy = x - x^3\)

  3. \(\frac{dy}{dx} + 2xy = xe^{-x^2}\)

  4. \(\frac{dy}{dx} + y \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\)

  5. \(\frac{dy}{dx} + y \operatorname{tg} x = \sin 2x\)

  6. \(\frac{dy}{dx} - y \operatorname x = 2 \cos^2 x\)

  7. \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2\)

  8. \(\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x+1} = (x+1)^3\)

  9. \(\frac{dy}{dx} + \frac{xy}{1+x^2} = \frac{1}{x(1+x^2)}\)

  10. \(\frac{dy}{dx} + \frac{xy}{1+x^2} = \frac{1}{2x(1+x^2)}\)

  11. \(\frac{dy}{dx} + \frac{ay}{1+x^2} = \frac{b}{1+x^2}\)

  12. \(\frac{dy}{dx} + \frac{xy}{a^2+x^2} = \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x^2}\)

  13. \(\frac{dy}{dx} - \frac{xy}{1-x^2} = \frac{ax}{1-x^2}\)

  14. \(\frac{dy}{dx} - \frac{y}{\sin x} = \operatorname x\)

  15. \(\frac{dy}{dx} \frac{y}{(1+x^2)\operatorname{arctg} x} = \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} \operatorname{arctg} x\)

  16. \(\frac{dy}{dx} + \frac{xy}{1+x^2} = \frac{\sin x}{\sqrt{1+x^2}}\)

  17. \(\frac{dy}{dx} - \frac{y}{\sqrt{1+x^2}} = a \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\)

  18. \(\frac{dy}{dx} - 2y = x+1\)

  19. \(\frac{dy}{dx} + 3y = x^2\)

  20. \(x \frac{dy}{dx} + y = x \sin x\)

  21. \(2x \frac{dy}{dx} - y = \frac{3}{2} x^2\)

  22. \(x^2 \frac{dy}{dx} - 2xy = 3\)

  23. \(x^2 \frac{dy}{dx} - 2xy = 3y\)

  24. \((1-x^2)\frac{dy}{dx} + x(y-a) = 0\)

  25. \((1-x^2)\frac{dy}{dx} + x(y-a) = a\)

  26. \((y^2-6x)\frac{dy}{dx} + 2y = 0\)

  27. \(x(1-x^2)\frac{dy}{dx} + (2x^2-1)y = a x^3\)

  28. \((1+x^2)\frac{dy}{dx} + y = \operatorname{arctg} x\)

  29. \(\frac{dy}{dx} \cos x + y \sin x = 1\)

  30. \(\frac{dy}{dx} \cos x - y \sin x = \sin 2x\)

  31. \(\frac{dy}{dx} \cos x - y \sin x = \cos^2 x\)

  32. \(\frac{dy}{dx} \cos x + y \sin x = x \cos x + \frac{1}{2} x^2 \sin x\)

  33. \(\frac{dy}{dx} \operatorname{tg} x - y = \frac{1}{4} x (2 \operatorname{tg} x - x)\)

  34. \(\frac{dy}{dx} \operatorname{ctg} x - y = 2 \cos^2 x \operatorname{ctg} x\)

  35. \((1-x^2)^{3/2} \frac{dy}{dx} = x y + (1-x^2)^{3/2} e^{1/\sqrt{1-x^2}} \cos^2 x\)