Spis treści

Podstawowe stałe i zmienne symboliczne w Maxima

W Maxima dostępne są symboliczne stałe oraz zmienne wbudowane, często wykorzystywane przy obliczeniach:

Zmienna / stała Opis
%pi stała \(\pi\) (3.14159…)
%e stała Eulera (2.718…)
%i jednostka urojona (√-1)
%phi złoty podział
inf nieskończoność
minf minus nieskończoność
und nieokreślone
noun symboliczna forma funkcji (bez ewaluacji) 
float(%pi);        /* aproksymacja liczby pi */
exp(%i * %pi);     /* tożsamość Eulera */
limit(1/x, x, inf); /* granica w nieskończoności */

Macierze

matrix:

Tworzenie macierzy w Maxima odbywa się za pomocą funkcji matrix.

Składnia:

A: matrix([a11, a12], [a21, a22]); /* macierz 2x2 */

Przykład:

A: matrix([1, 2], [3, 4]);

Podstawowe operacje na maczierzach

Operacja Składnia / przykład
Transpozycja transpose(A);
Wyznacznik determinant(A);
Odwracanie macierzy invert(A); (jeśli macierz jest odwracalna)
Dodawanie, odejmowanie A + B;, A - B;
Mnożenie przez skalar 2 * A;
Mnożenie macierzy A . B; (kropka oznacza mnożenie macierzowe)
Rozmiar macierzy length(A); – liczba wierszy, length(first(A)); – liczba kolumn
Dostęp do elementów A[1][2]; – element w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie 
A: matrix([1, 2], [3, 4]);
B: matrix([5, 6], [7, 8]);

A + B;        /* dodawanie */
A . B;        /* mnożenie */
transpose(A); /* transpozycja */
determinant(A);
invert(A);

Rozwiązywanie równań

solve

Funkcja solve służy do rozwiązywania równań algebraicznych oraz układów równań.

Składnia:

solve(równanie, zmienna); /* jedno równanie */
solve([równanie1, równanie2], [zmienna1, zmienna2]); /* układ równań */

Przykłady:

solve(x^2 - 4 = 0, x); /* rozwiązanie równania kwadratowego */
solve([x + y = 3, x - y = 1], [x, y]); /* układ równań liniowych */

Granica funkcji

limit

Funkcja limit służy do obliczania granic funkcji.

Składnia:

limit(wyrażenie, zmienna, punkt);
limit(wyrażenie, zmienna, punkt, kierunek);
  • kierunek: plus (od prawej), minus (od lewej)

Przykłady:

limit(sin(x)/x, x, 0); /* granica zwykła */
limit(1/x, x, 0, plus); /* granica prawostronna */
limit(1/x, x, 0, minus); /* granica lewostronna */

Pochodna funkcji

diff

Funkcja diff służy do obliczania pochodnych wyrażeń.

Składnia:

diff(wyrażenie, zmienna);
diff(wyrażenie, zmienna, rząd);

Przykłady:

diff(sin(x^2), x); /* pochodna funkcji jednej zmiennej */
diff(exp(x^2), x, 2); /* druga pochodna */
diff(x^2 * y + y^3, x); /* pochodna cząstkowa względem x */
diff(x^2 * y + y^3, y); /* pochodna cząstkowa względem y */

Całkowanie w Maxima

integrate

W Maxima do obliczania całek nieoznaczonych stosujemy funkcję integrate.

Składnia:

integrate(wyrażenie, zmienna);

Przykłady:

integrate(x^2, x);            /* ∫x² dx = x³/3 */
integrate(sin(x^2), x);       /* funkcja specjalna (nieelementarna) */
integrate(exp(-x^2), x);      /* wynik symboliczny z funkcją erf */

integrate

W Maxima do obliczania całek oznaczonych ostosujemy funkcję integrate.

Składnia:

integrate(wyrażenie, zmienna, dolna_granica, górna_granica);

Przykłady:

ntegrate(x^2, x, 0, 2);        /* ∫₀² x² dx = 8/3 */
integrate(sin(x), x, 0, %pi);   /* ∫₀^π sin(x) dx = 2 */
integrate(1/x, x, 1, %e);       /* ∫₁^e (1/x) dx = 1 */

Dodatkowe funkcje pomocnicze

ratsimp

Upraszcza wyrażenia wymierne (ang. rational simplification).

Przykład:

ratsimp((x^2 - 1)/(x - 1));

expand

Rozwija wyrażenie algebraiczne. 
expand((x + 1)^3);

factor

Rozkłada wyrażenie na czynniki.

Przykład:

factor(x^2 - 1);

coeff

Funkcja coeff w Maxima służy do wyodrębniania współczynnika przy danym stopniu zmiennej w wielomianie.

Składnia:

coeff(wyrażenie, zmienna, stopień);

Przykłady:

coeff(3*x^3 + 2*x^2 - x + 5, x, 2);  /* wynik: 2 */
coeff(a*x^4 + b*x^3 + c, x, 4);      /* wynik: a */
coeff((x + 1)^3, x, 2);              /* wynik: 3 — rozwinięcie: x^3 + 3x^2 + 3x + 1 */

w: expand((x - 1)^3);
[
  coeff(w, x, 3),
  coeff(w, x, 2),
  coeff(w, x, 1),
  coeff(w, x, 0)
];
coeff(x^2 + 5, x, 4); /* wynik: 0 */

Wykres funkcji

plot2d

Funkcja plot2d służy do rysowania wykresów funkcji jednej zmiennej w układzie 2D.

Składnia:

plot2d(funkcja, [zmienna, a, b]);

Przykłady

wxplot2d(sin(x), [x, -%pi, %pi]); /* wykres funkcji sinus */
wxplot2d([sin(x), cos(x)], [x, -%pi, %pi]); /* wykres dwóch funkcji na tym samym układzie */

Wykres funkcji sin Wykres funkcji sin Dodatkowe opcje:

wxplot2d(sin(x), [x, -10, 10], [ylabel, "f(x) = sin(x)"], [xlabel, "x"], [style, [lines, 2]]);
Wykres funkcji sin
Wykres funkcji sin

plot3d

Funkcja plot3d umożliwia rysowanie wykresów funkcji dwóch zmiennych w 3D.

Składnia:

wxplot3d(funkcja, [x, a, b], [y, c, d]);
  • funkcja – wyrażenie zależne od dwóch zmiennych,
  • x, y – zmienne niezależne,
  • a, b, c, d – zakresy wartości dla każdej zmiennej.

Przykład:

wxplot3d(x^2 + y^2, [x, -2, 2], [y, -2, 2]); /* paraboloida */
wxplot3d(sin(x)*cos(y), [x, -%pi, %pi], [y, -%pi, %pi]); /* funkcja trygonometryczna */

Wykres 3D 1 Wykres 3D 2

Dodatkowe opcje:

wxplot3d(sin(x*y), [x, -3, 3], [y, -3, 3], [grid, 30, 30], [palette, gray]);
Wykres 3D 3
Wykres 3D 3

Zadania

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Zadanie:

Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
  1. \(f(x, y) = \operatorname{arctg} \frac{1 - xy}{x + y}\),
  2. \(f(x, y, z) = \frac{x}{x^2 + y^2 + z^2}\),
  3. \(f(x, y) = \sin \frac{y}{e^x}\),
  4. \(f(x, y) = e^{x^2} \sin y\),
  5. \(f(x, y) = \arccos \frac{y}{x}\),
  6. \(f(x, y, z) = x^y - z^x\),
  7. \(f(x, y, z) = \sin(x \cos(y \sin z))\).
Zadanie: Wyznacz ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych
  1. \(f(x, y) = 3(x - 1)^2 + 4(y + 2)^2\),
  2. \(f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy\),
  3. \(f(x, y) = \left( 2x + y^2 \right) e^{-x^2}\),
  4. \(f(x, y) = \left( \cos x + \cos y \right)^2 + \left( \sin x + \sin y \right)^2\),
  5. \(f(x, y) = x^3 + 3xy^2 - 51x - 24y\),
  6. \(f(x, y) = 3x^2y - x^3 - y^4\),
  7. \(f(x, y) = xy + \frac{1}{2(x+y)}\),
  8. \(f(x, y) = x^2 - xy + y^2\),
  9. \(f(x, y) = x^2 - xy - y^2\),
  10. \(f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x\),
  11. \(f(x, y) = x^3 + y^3 - x^2 - 2xy - y^2\),
  12. \(f(x, y) = x^3 - 2y^3 - 3x + 6y\),
  13. \(f(x, y) = x^3 - 2x^2y^2 + y^4\),
  14. \(f(x, y) = e^{x+2y}(x^2-y^2)\),
  15. \(f(x, y) = e^{-xy}(x^2-2xy+y^2)\),
  16. \(f(x, y) = (x^2 + 2y^2)e^{-(x^2+y^2)}\),
  17. \(f(x, y) = (x-2y)e^{-(x^2+y^2)}\),
  18. \(f(x, y) = xy \ln(x^2 + y^2)\),
  19. \(f(x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{x} + y\),
  20. \(f(x, y) = \frac{ax+by+c}{\sqrt{x^2+y^2+1}}, \quad a^2+b^2+c^2 \neq 0\),
  21. \(f(x, y) = 1 - \sqrt{x^2+y^2}\),
  22. \(f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 4\ln x - 10\ln y\).

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

Zadanie: Oblicz podane całki nieoznaczone
  1. \(\int x \sin x \, dx\),
  2. \(\int x \cos x \, dx\),
  3. \(\int x e^x \, dx\),
  4. \(\int x e^{-x} \, dx\),
  5. \(\int x^3 \, dx\),
  6. \(\int x \arctg x \, dx\),
  7. \(\int x^n \ln x \, dx, \quad n \in \mathbb{N}\),
  8. \(\int x \arccos x \, dx\),
  9. \(\int \arcsin x \, dx\),
  10. \(\int x \tg^2 x \, dx\),
  11. \(\int x \cos^2 x \, dx\),
  12. \(\int x \ln(x^2 + 1) \, dx\),
  13. \(\int x^3 e^x \, dx\),
  14. \(\int x^3 \sin x \, dx\).
Zadanie: Oblicz podane całki nieoznaczone
  1. \(\int e^{-x^2} \, dx\),
  2. \(\int e^x \, dx\),
  3. \(\int \operatorname{ctg} x \, dx\),
  4. \(\int \operatorname{tg} x \, dx\),
  5. \(\int \frac{dx}{x \ln x}\),
  6. \(\int \frac{3x + 5}{x^2 + 1} \, dx\),
  7. \(\int \frac{\ln^5 x}{x} \, dx\),
  8. \(\int \frac{\operatorname{tg} x + 3}{\cos^2 x} \, dx\),
  9. \(\int \frac{x}{4x^2 + 7} \, dx\),
  10. \(\int (1 + \frac{\operatorname{ctg} x}{\sin^2 x}) \, dx\),
  11. \(\int \frac{x^3}{1 + x^8} \, dx\),
  12. \(\int \frac{5x}{\sqrt{1 + x^4}} \, dx\),
  13. \(\int x (2x^2 + 3)^n dx, n \in \mathbb{N}\),
  14. \(\int e^x / x^2 dx\).
Zadanie: Oblicz podane całki nieoznaczone
  1. \(\int \frac{x \, dx}{2x^2 - 3x - 2}\),
  2. \(\int \frac{x^5 + x^4 - 8}{x^3 - 4x} \, dx\),
  3. \(\int \frac{dx}{6x^3 - 7x^2 - 3x}\),
  4. \(\int \frac{x^8 - 2x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 4}{x^5 - 5x^3 + 4x} \, dx\),
  5. \(\int \frac{x^2 + 1}{x^4 - 5x^2 + 4} \, dx\),
  6. \(\int \frac{x^3 + 1}{x^3 - x^2} \, dx\),
  7. \(\int \frac{x}{x^4 + 2x^3 - x^2 - 4x + 4} \, dx\),
  8. \(\int \frac{dx}{x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4}\),
  9. \(\int \frac{x}{x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30} \, dx\),
  10. \(\int \frac{x^2 - 3x + 2}{x^3 + 2x^2 + x} \, dx\),
  11. \(\int \frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 5}{(x-2)^4} \, dx\),
  12. \(\int \frac{3x^2 + 1}{(x-2)^2} \, dx\).
Zadanie: Oblicz podane całki nieoznaczone
  1. \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 + 4x - 4}}\),
  2. \(\int \frac{dx}{\sqrt{2 + x - x^2}}\),
  3. \(\int \frac{dx}{(2x-3)\sqrt{4x-x^2}}\),
  4. \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}\),
  5. \(\int x^2\sqrt{1-2x-x^2}dx\).

–> –>

–> –> –>